குவாண்டம் நுரை (குவாண்டம் ஃ போம் )
..................................................................................................
இ. பரமசிவன்
ஐன்ஸ்டீன் கண்டுபிடித்த பொதுச்சார்பு கோட்பாடு விண்வெளியில் உள்ள பெரும் பெரும் விண்மீன்கள் மற்றும் கோள்கள் எவ்வாறு ஈர்ப்பின் விசையிலும் பொருள்திணிவின் வளைக்கும் விசையிலும் உட்பட்டு துகள்களின் குவாண்டம் கோட்பாடும் இயங்குகின்றனவோ அதுபோலவே அணுக்கருவின் உட்துகள்களான எலக்ட்ரான் ப்ரோட்டான் நியூட்ரான் மற்றும் பல நுண்துகள்களும் குவாண்டம் கோட்பாட்டுக்குள் கொண்டுவரப்பட வேண்டும்என விரும்பினார்.அதாவது குவாண்டம் கோட்பாட்டில் ஈர்ப்பு விசைக்கோட்பாடும் இழைவிக்கப்படவேண்டும் என்பதே அவர் கருர்த்துஃபோட்டான் போசான் போன்றவையும்
∙
1930 களில் இந்த விஷயத்தில் ஆவணங்கள் வெளிவரத் தொடங்கின, குறிப்பாக பிரான்ஸ்டீன், ரோசன்பெல்ட் மற்றும் பவுலி ஆகியோரால். ஆனால், அறுபதுகளில்தான் விரிவான வேலைகள் தொடங்கின. அதற்குப் பிந்தைய பொதுவான வளர்ச்சிகள் தளர்வாக நான்கு கட்டங்களைக் குறிக்கின்றன, ஒவ்வொன்றும் சுமார் ஒன்றரை தசாப்தங்களாக நீண்டுள்ளன. இந்த பகுதியில், இந்த முன்னேற்றங்களை ஒரு வரைபடத்தை முன்வைக்கிறேன்.
முதலில், ஆரம்பம் இருந்தது: ஆய்வு. வேறு எந்த இயற்பியல் புலத்திற்கும் செய்வதைப் போலவே ஈர்ப்பு விசையையும் செய்வதே குறிக்கோளாக இருந்தது cji1.1 மின்காந்தப் புலம் இரண்டு அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்தி வெற்றிகரமாக அளவிடப்பட்டது: நியதி மற்றும் இணைமாறுபாடு. நியமன அணுகுமுறையில், ஹெய்சன்பர்க்கின் உறுதியின்மைக் கொள்கைக்குக் கீழ்ப்படியும் மின் மற்றும் காந்தப் புலங்கள் முன்னணியில் உள்ளன, மேலும் குவாண்டம் நிலைகள் இயற்கையாகவே ஒரு இடஞ்சார்ந்த மூன்று-துண்டு மீதான திசையன் மின்னழுத்தத்தின் கேஜ் - மாறாத செயல்பாடுகளாக எழுகின்றன. மறுபுறம், இணைமாறுபாடு அணுகுமுறையில், ஒருவர் முதலில் மேக்ஸ்வெல் புலத்தின் இரண்டு கதிர்வீச்சு முறைகளை வெளி-நேரத்தில் தனிமைப்படுத்தி பின்னர் அளவிடுகிறார், ஒரு (3 + 1) -சிதைவை மேற்கொள்ளாமல், குவாண்டம் நிலைகள் இயற்கையாகவே ஃபோட்டான்களின் ஃபோக் இடத்தின் கூறுகளாக எழுகின்றன. இந்த நுட்பங்களை பொதுச் சார்பியலுக்கும் விரிவுபடுத்த முயற்சிகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. மின்காந்த வழக்கில் இரண்டு முறைகளும் முற்றிலும் சமமானவை. ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்குச் செல்வதில் அழுத்தம் மட்டுமே மாறுகிறது. ஆனால் ஈர்ப்பு விஷயத்தில் வேறுபாடு ஆழமானது. இது தற்செயலானது அல்ல. காரணம் பொது சார்பியலின் அத்தியாவசிய அம்சங்களில் ஒன்றில் ஆழமாக வேரூன்றியுள்ளது, அதாவது வெளி-நேர அளவீட்டின் இரட்டை பாத்திரம்.
இந்தக் கருத்தைப் புரிந்து கொள்ள, மின்கோவ்ஸ்கி வெளி-நேரத்தில் உள்ள புலக் கோட்பாடுகளிலிருந்து தொடங்குவோம், மேக்ஸ்வெல்லின் கோட்பாடு குறிப்பிட்டதாக இருக்க வேண்டும். இங்கே, அடிப்படை இயக்கவியல் புலம் ஒரு டென்சர் புலத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது
𝐹
μ
𝜈
மின்கோவ்ஸ்கி விண்வெளியில். வெளி-கால வடிவியல் புலம் பரப்பும் இயக்கவியல் அரங்கை வழங்குகிறது. பின்னணி, மின்கோவ்ஸ்கியன் மெட்ரிக் ஒளி கூம்புகள் மற்றும் காரணகாரிய கருத்தை வழங்குகிறது. இந்த வெளி-நேரத்தை நாம் விண்வெளி போன்ற மூன்று-தளங்களின் ஒரு அளவுரு குடும்பத்தால் உருவாக்கலாம், மேலும் இந்த மேற்பரப்புகளில் ஒன்றில் மின் மற்றும் காந்தப்புலங்களின் மதிப்புகள் வேறு எந்த மேற்பரப்பிலும் இருப்பதை எவ்வாறு தீர்மானிக்கின்றன என்பதை பகுப்பாய்வு செய்யலாம். மின்கோவுஸ்கி மெட்ரிக் மாற்றீடுகள் மின்காந்த அலைகள் ஏந்திச் செல்லும் ஆற்றல் பாயங்கள், உந்தம், கோண உந்தம் போன்ற இயற்பியல் அளவுகளைக் கட்டமைக்க அனுமதிக்கின்றன.
பொது சார்பியலில், இதற்கு மாறாக, பின்னணி வடிவியல் இல்லை. வெளி-நேர அளவீடு அடிப்படை இயக்கவியல் மாறி ஆகும். ஒருபுறம், இது மேக்ஸ்வெல்லின் கோட்பாட்டில் உள்ள மின்கோவ்ஸ்கி மெட்ரிக் உடன் ஒத்திருக்கிறது; இது வெளி-நேர வடிவவியலை தீர்மானிக்கிறது, ஒளி கூம்புகளை வழங்குகிறது, காரணகாரியத்தை வரையறுக்கிறது மற்றும் அனைத்து இயற்பியல் புலங்களின் (தன்னையும் சேர்த்து) பரப்புவதை ஆணையிடுகிறது. மறுபுறம், இது நியூட்டனிய ஈர்ப்பு மின்னழுத்தத்தின் ஒப்புமை ஆகும், எனவே கோட்பாட்டின் அடிப்படை இயக்கவியல் பொருள், இந்த அம்சத்தில் ஒத்திருக்கிறது
𝐹
μ
𝜈
of the Maxwell theory. This dual role of the metric is in effect a precise statement of the equivalence principle that is at the heart of general relativity. It is this feature that is largely responsible for the powerful conceptual economy of general relativity, its elegance and its aesthetic beauty, its strangeness in proportion. However, this feature also brings with it a host of problems. We see already in the classical theory several manifestations of these difficulties. It is because there is no background geometry, for example, that it is so difficult to analyze singularities of the theory and to define the energy and momentum carried by gravitational waves. Since there is no a priori space-time, to introduce notions as basic as causality, time, and evolution, one must first solve the dynamical equations and construct a space-time. As an extreme example, consider black holes, whose traditional definition requires the knowledge of the causal structure of the entire space-time. To find if the given initial conditions lead to the formation of a black hole, one must first obtain their maximal evolution and, using the causal structure determined by that solution, ask if the causal past
𝐽
−
(
ℐ
+
)
of its future infinity
ℐ
+
is the entire space-time. If not, space-time contains a black hole and the future boundary of
𝐽
(
ℐ
+
)
within that space-time is its event horizon. Thus, because there is no longer a clean separation between the kinematical arena and dynamics, in the classical theory substantial care and effort is needed even in the formulation of basic physical questions.
In quantum theory the problems become significantly more serious. To see this, recall first that, because of the uncertainty principle, already in non-relativistic quantum mechanics, particles do not have well-defined trajectories; time-evolution only produces a probability amplitude,
Ψ
(
𝑥
,
𝑡
)
, rather than a specific trajectory,
𝑥
(
𝑡
)
. Similarly, in quantum gravity, even after evolving an initial state, one would not be left with a specific space-time. In the absence of a space-time geometry, how is one to introduce even habitual physical notions such as causality, time, scattering states, and black holes?
The canonical and the covariant approaches adopted dramatically different attitudes to face these problems. In the canonical approach, one notices that, in spite of the conceptual difficulties mentioned above, the Hamiltonian formulation of general relativity is well-defined and attempts to use it as a stepping stone to quantization. The fundamental canonical commutation relations are to lead us to the basic uncertainty principle. The motion generated by the Hamiltonian is to be thought of as time evolution. The fact that certain operators on the fixed (‘spatial’) three-manifold commute is supposed to capture the appropriate notion of causality. The emphasis is on preserving the geometrical character of general relativity, on retaining the compelling fusion of gravity and geometry that Einstein created. In the first stage of the program, completed in the early 1960s, the Hamiltonian formulation of the classical theory was worked out in detail by Dirac, Bergmann, Arnowitt, Deser and Misner and others adm; komar; pbak; agrev; kk1. The basic canonical variable was the 3-metric on a spatial slice. The ten Einstein’s equations naturally decompose into two sets: four constraints on the metric and its conjugate momentum (analogous to the equation
Div
𝐸
→
=
0
of electrodynamics) and six evolution equations. Thus, in the Hamiltonian formulation, general relativity could be interpreted as the dynamical theory of 3-geometries. Wheeler therefore baptized it geometrodynamics jw1; jw2.
In the second stage, this framework was used as a point of departure for quantum theory by Bergmann, Komar, Wheeler DeWitt and others. The basic equations of the quantum theory were written down and several important questions were addressed jw2; kk1. Wheeler also launched an ambitious program in which the internal quantum numbers of elementary particles were to arise from non-trivial, microscopic topological configurations and particle physics was to be recast as ‘chemistry of geometry’. However, most of the work in quantum geometrodynamics continued to remain formal; indeed, even today the field theoretic difficulties associated with the presence of an infinite number of degrees of freedom in the Wheeler DeWitt equation remain unresolved. Furthermore, even at the formal level, is has been difficult to solve the quantum Einstein’s equations. Therefore, after an initial burst of activity, the quantum geometrodynamics program became stagnant. Interesting results have been obtained by Misner, Wheeler, DeWitt and others in the limited context of quantum cosmology where one freezes all but a finite number of degrees of freedom. However, even in this special case, the initial singularity could not be resolved without additional ‘external’ inputs into the theory, such as the use of matter violating energy conditions. Sociologically, the program faced another limitation: concepts and techniques which had been so successful in quantum electrodynamics appeared to play no role here. In particular, in quantum geometrodynamics, it is hard to see how gravitons are to emerge, how scattering matrices are to be computed, how Feynman diagrams are to dictate dynamics and virtual processes are to give radiative corrections. To use a well-known phrase weinberg, the emphasis on geometry in the canonical program “drove a wedge between general relativity and the theory of elementary particles.”
In the covariant2 approach agrev; bsd; md the emphasis is just the opposite. Field-theoretic techniques are put at the forefront. The first step in this program is to split the space-time metric
𝑔
𝜇
𝜈
in two parts,
𝑔
𝜇
𝜈
=
𝜂
𝜇
𝜈
+
𝐺
ℎ
𝜇
𝜈
, where
𝜂
𝜇
𝜈
is to be a background, kinematical metric, often chosen to be flat,
𝐺
is Newton’s constant, and
ℎ
𝜇
𝜈
, the deviation of the physical metric from the chosen background, the dynamical field. The two roles of the metric tensor are now split. The overall attitude is that this sacrifice of the fusion of gravity and geometry is a moderate price to pay for ushering-in the powerful machinery of perturbative quantum field theory. Indeed, with this splitting most of the conceptual problems discussed above seem to melt away. Thus, in the transition to the quantum theory it is only
ℎ
𝜇
𝜈
that is quantized. Quanta of this field propagate on the classical background space-time with metric
𝜂
𝜇
𝜈
. If the background is in fact chosen to be flat, one can use the Casimir operators of the Poincaré group and show that the quanta have spin two and rest mass zero. These are the gravitons. The Einstein-Hilbert Lagrangian tells us how they interact with one another. Thus, in this program, quantum general relativity was first reduced to a quantum field theory in Minkowski space. One could apply to it all the machinery of perturbation theory that had been so successful in particle physics. One now had a definite program to compute amplitudes for various scattering processes. Unruly gravity appeared to be tamed and forced to fit into the mold created to describe other forces of Nature. Thus, the covariant quantization program was more in tune with the mainstream developments in physics at the time. In 1963 Feynman extended perturbative methods from quantum electrodynamics to gravity. A few years later DeWitt carried this analysis to completion by systematically formulating the Feynman rules for calculating scattering amplitudes among gravitons and between gravitons and matter quanta. He showed that the theory is unitary order by order in the perturbative expansion. By the early seventies, the covariant approach had led to several concrete results bsd.
Consequently, the second stage of the covariant program began with great enthusiasm and hope. The motto was: Go forth, perturb, and expand. The enthusiasm was first generated by the discovery that Yang-Mills theory coupled to fermions is renormalizable (if the masses of gauge particles are generated by a spontaneous symmetry-breaking mechanism).3 This led to a successful theory of electroweak interactions. Particle physics witnessed a renaissance of quantum field theory. The enthusiasm spilled over to gravity. Courageous calculations were performed to estimate radiative corrections. Unfortunately, however, this research soon ran into its first road block. The theory was shown to be non-renormalizable when two loop effects are taken into account for pure gravity and already at one loop for gravity coupled with matter cji2. To appreciate the significance of this result, let us return to the quantum theory of photons and electrons. This theory is perturbatively renormalizable. This means that, although individual terms in the perturbation expansion of a physical amplitude may diverge due to radiative corrections involving closed loops of virtual particles, these infinities are of a specific type; they can be systematically absorbed in the values of free parameters of the theory, the fine structure constant and the electron mass. Thus, by renormalizing these parameters, individual terms in the perturbation series can be systematically rendered finite. In quantum general relativity, such a system
